Разное

Найти угол прямой: Угол между прямой и плоскостью

Содержание

Угол между прямой и плоскостью онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ<90°. Тогда имеем:

cosψ=cos(90−φ)=sinφ. (3)

Вариант 2.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

Вариант 3.Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

Тогда имеем:

cosψ=cos(90+φ)=−sinφ. (4)

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

или

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P
получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

 

Пример 2. Найти угол между прямой L:

и плоскостью P:

Решение.

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P
получим следующую формулу:

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Ответ:

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.

Угол между прямой и плоскостью: определение, примеры нахождения

Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.

Угол между прямой и плоскостью – определение

Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.

Определение 1

Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной  относительно плоскости.

Определение 2

Прямая является перпендикулярной к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.

Определение 3

Проекция точки M на плоскость γ является сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо является точкой пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной плоскости γ, проходящей через точку M, при условии, что она не принадлежит плоскости γ.

Определение 4

Проекция прямой а на плоскость γ — это множество проекций всех точек заданной прямой на плоскость.

Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения.  Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью

Определение 5

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.

Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой  и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.

Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных  по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур,  косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.

Если в трехмерном пространстве вводится прямоугольная система координат Охуz, тогда в ней задается прямая a, пересекающая плоскость γ в точке M, причем она не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α, находящийся между заданной прямой и плоскостью.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.

 В системе координат Охуz задается прямая a, которой соответствуют уравнения прямой в пространстве  и направляющий вектор прямой пространства,  для плоскости γ соответствует уравнение плоскости  и нормальный вектор плоскости.AD→·n→=arcsin4·-6+1·-2+1·342+12+12·-62+-22+32=arcsin23212

Ответ: arcsin23212.

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью  методом координат.

Для этого нам, как обычно, понадобятся  некоторые теоретические сведения.

1. Уравнение плоскости имеет вид

2. Важно! В этом уравнении плоскости  коэффициенты — координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

 

3. Косинус угла между векторами  и  вычисляется по формуле:

4. Любой ненулевой вектор , лежащий на прямой , или параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла  между прямой  и плоскостью  равен косинусу угла  между нормалью () к плоскости и направляющим вектором прямой (), поскольку  

То есть синус угла  между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты  и плоскостью, заданной уравнением  вычисляется по формуле:

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

 

Введем систему координат:

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости 

(все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, ,

Получим систему уравнений:

Отсюда , .

Уравнение плоскости имеет вид:

. Разделим обе части равенства на с, получим:

.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0), 

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Угол между прямой и плоскостью.

Навигация по странице:

Определение.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =  | A · l + B · m + C · n |
√A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Пример 1.

Найти угол между прямой

x — 4  =  y + 2  = —  z — 6
2 6 3

и плоскостью x — 2y + 3z + 4 = 0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

s = {2; 6; -3}

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

q = {1; -2; 3}

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ =  | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |  =
√22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32
sin φ =  | 2 — 12 — 9 |  =  19  =  19
√4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9 √49 · √14 7√14

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Построение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол, который прямая образует со своей проекцией на данную плоскость. Его величина может быть определена графически в соответствии с приведенным ниже алгоритмом.

Алгоритм построения

  1. Из произвольной точки, взятой на прямой, проводят перпендикуляр к заданной плоскости.
  2. Способом вращения вокруг линии уровня определяют величину угла β° между построенным перпендикуляром и прямой.
  3. Вычисляют искомый угол α° = 90° – β°.

Задача 1

Рассмотрим, как осуществляется описанный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже приведены построения, с помощью которых вычислен угол α° между прямой a и плоскостью γ, заданной параллельными прямыми c и d.

Решение

  1. Строим проекции фронтали f и горизонтали h плоскости γ. Для этого используем вспомогательные точки 1 и 2, 3 и 4.
  2. Из произвольной точки K, лежащей на прямой a, опускаем перпендикуляр b на плоскость γ. Как видно на рисунке, проекция b’⊥h’, а b»⊥f».
  3. Определяем величину угла β° между прямыми a и b способом поворота вокруг линии уровня. Для этого сначала строим горизонталь h1 и перпендикулярно её проекции h’1 проводим луч K’O’. Центр поворота O’ = K’O’ ∩ h’1.
    Определяем радиус вращения R как гипотенузу прямоугольного треугольника K0K’O’, катет которого K0K’ равен величине Z– ZK. После этого по дуге окружности переводим точку K0 в положение K’1, как это показано на рисунке выше. Угол β° находится при вершине K’1.
  4. Вычисляем значение искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Задача 2

В данном примере прямая e занимает общее положение, а плоскость γ задана следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости достраивать горизонталь и фронталь, поскольку их роль выполняют следы h0γ и f0γ.

Решение

  1. На прямой e возьмем произвольную точку N и из неё опустим перпендикуляр m на плоскость γ. Проекцию m’ нужно провести перпендикулярно h0γ, а m»⊥f соответственно.
  2. Определяем величину угла β° между прямыми m и е способом вращения вокруг линии уровня, в качестве которой в нашей задаче была использована горизонталь h.
  3. Вычисляем величину искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Похожие задачи:

Угол между прямой и плоскостью

Угол — фигура образованная парой лучей из одной точки, которая называется вершиной угла.

Мера угла определяется сравнением двух углов. Сравнение выполняется выбором начальных сторон углов и определением
направления отсчёта угловой меры. Совмещением вершин углов и начальных сторон определяется меньший угол, чья вторая
сторона оказывается внутри другого угла.

В задачах по начертательной геометрии рассматриваются углы между: прямыми в одной плоскости, двумя плоскостями
(угол при ребре), скрещивающимися прямыми и между прямой и плоскостью.

Угол между скрещивающимися прямыми определяется по углу между проекциями прямых на плоскость параллельную этим прямым.

  1. Угол между плоскостями
  2. Угол между прямыми
  3. Найти угол между плоскостями
  4. Угол наклона плоскости
  5. Угол между прямой и плоскостью
  6. Найти угол между прямыми
  7. Угол между двумя плоскостями
  8. Найти угол между прямой и плоскостью
  9. Угол между плоскостью и основанием
  10. Угол между точкой и плоскостью
  11. Угол между наклонной и плоскостью
  12. Угол между ребром и плоскостью
  13. Найти угол между плоскостью и точкой
  14. Найти угол между двумя плоскостями
  15. Найти угол между ребром и плоскостью
  16. Угол наклона плоскости к горизонту
  17. Найти угол между прямыми в плоскости
  18. Угол между стороной и плоскостью
  19. Определить угол между плоскостями
  20. Угол между прямыми на плоскости
  21. Угол между плоскостями треугольников
  22. Пирамида и угол между плоскостью
  23. Угол между перпендикулярными плоскостями
  24. Угол наклона прямых
  25. Найти угол между плоскостями пирамиды
  26. Угол между плоскостями призмы
  27. Угол между гранью и плоскостью
  28. Как находить угол между плоскостями
  29. Угол между сечением и плоскостью
  30. Угол между ребром и плоскостью основания
  31. Угол между образующей конуса и плоскостью
  32. Угол между скрещивающимися прямыми
  33. Перпендикуляр, наклонная и угол между плоскостями
  34. Угол между образующей конуса и плоскостью основания
  35. Параллелепипед угол между плоскостями
  36. Найти угол между ребром и плоскостью пирамиды
  37. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания
  38. Найти угол между сечением и плоскостью
  39. Угол между параллельными плоскостями
  40. Найти угол между наклонной и плоскостью
  41. Угол между боковым ребром и плоскостью основания
  42. Угол наклона плоскости к плоскостям проекций
  43. Угол наклона грани
  44. Угол между ребром и плоскостью в пирамиде
  45. Угол между плоскостью и плоскостью проекции
  46. Угол наклона между плоскостями
  47. Угол между ребром и плоскостью основания пирамиды
  48. Найти угол между плоскостями в кубе
  49. Угол между отрезком и плоскостью
  50. Угол между диагональю и плоскостью основания
  51. Угол между прямой и плоскостью призмы
  52. Угол между плоскостями презентация
  53. Найти угол между плоскостью проходящей через точки
  54. Угол наклона пирамиды
  55. Угол между плоскостями рисунок
  56. Угол между прямой и плоскостью презентация
  57. Угол между прямой AB и плоскостью
  58. Презентация угол между прямыми и плоскостями
  59. Определите угол наклона плоскости к горизонту
  60. Угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью
  61. Тема углы между плоскостями
  62. Угол между боковой гранью и плоскостью основания
  63. Углы между прямыми и плоскостями задачи
  64. Угол наклона прямой к плоскости
  65. Двугранный угол и угол между плоскостями
  66. Угол между плоскостями в пространстве
  67. Как находить угол между прямой и плоскостью
  68. Построить угол между плоскостями
  69. Угол наклона плоскости к грани
  70. Угол наклона к горизонтальной плоскости
  71. Определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций
  72. Угол наклона двух плоскостей
  73. Решение задач об углах между плоскостями
  74. Определение угла между плоскостями
  75. Угол наклона отрезка к плоскости
  76. Найти угол наклона прямой
  77. Определить угол между двумя плоскостями
  78. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
  79. Угол между двумя прямыми на плоскости
  80. Угол наклона ребра к плоскости
  81. Найти угол наклона плоскости к грани
  82. Угол между плоскостями в треугольной призме
  83. Найти двугранный угол между плоскостями
  84. Нахождение угла между плоскостями
  85. Угол наклона к плоскости П1
  86. Угол наклона боковой грани
  87. Угол между прямой и плоскостью в пирамиде
  88. Определить угол между прямой и плоскостью
  89. Определить угол наклона прямой
  90. Угол между прямой и плоскостью является
  91. Угол наклона треугольника к плоскости
  92. Угол наклона прямой к оси
  93. Определение угла между прямой и плоскостью
  94. Угол наклона боковых граней пирамид
  95. Угол наклона прямой к плоскости проекций
  96. Угол наклона боковой грани к основанию
  97. Определить угол наклона плоскости к плоскости П1
  98. Угол наклона отрезка к плоскостям проекций
  99. Угол между скрещивающимися плоскостями
  100. Угол наклона ребра к грани
  101. Определить угол наклона прямой к плоскости
  102. Угол наклона стороны пирамиды
  103. Найти угол наклона прямой к плоскости
  104. Определение угла наклона плоскости
  105. Угол наклона ребра к основанию пирамиды
  106. Угол наклона к фронтальной плоскости
  107. Определить угол наклона треугольника к плоскости
  108. Угол между плоскостью и линией пересечения плоскостей
  109. Угол между линиями на плоскости
  110. Угол наклона боковой грани к плоскости
  111. Как определить угол наклона плоскости
  112. Определить угол наклона плоскости к плоскости П2
  113. Угол наклона боковой грани к плоскости основания
  114. Найти угол между главными плоскостями
  115. Найти угол наклона основания пирамиды к плоскости
  116. Угол наклона бокового ребра пирамиды к основанию
  117. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания
  118. Угол между прямой и плоскостью двугранный угол
  119. Угол между плоскостями начертательная геометрия
  120. Самостоятельная работа угол между прямой и плоскостью
  121. Определить углы наклона прямой к плоскостям проекций
  122. Определить угол наклона отрезка к плоскостям проекций
  123. Угол наклона ребра пирамиды к плоскости основания
  124. Определение угла наклона плоскости к плоскости проекции
  125. Углы наклона треугольника к плоскостям проекций
  126. Угол наклона к фронтальной плоскости проекций
  127. Найдите угол наклона грани пирамиды к основанию
  128. Найти угол между двумя прямыми на плоскости
  129. Как найти угол наклона плоскости
  130. Определить угол наклона треугольника к плоскостям проекций
  131. Угол наклона треугольника к плоскости П1
  132. Определение угла наклона прямой к плоскости проекции
  133. Угол наклона плоскости на П2
  134. Определить угол наклона прямой к плоскости П1
  135. Угол наклона прямой к плоскости треугольника
  136. Угол наклона прямой к плоскости П2
  137. Найти угол наклона прямой к оси ох
  138. Угол наклона прямой к оси Х
  139. Определить угол наклона грани к плоскости
  140. Угол наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости
  141. Начертательная геометрия угол наклона плоскости
  142. Определить угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости
  143. Угол наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций
  144. Определить угол наклона прямой АВ к П1
  145. Определение угла наклона плоскости к плоскости П1
  146. Определить угол наклона прямой к плоскости треугольника
  147. Определить угол наклона альфа к плоскости П1
  148. Как найти угол наклона плоскости к горизонту

Решение задач по начертательной геометрии.2}}\]
\(\bullet\) Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно
— построить плоскость, проходящую через одну из них и параллельную другой;
— найти уравнение этой плоскости;
— найти расстояние от любой точки первой прямой до этой плоскости.

Angles — Mathematics GCSE Revision — Revision Maths

Углы измеряются в градусах, записываются в °. Максимальный угол 360 °. Это угол вокруг точки. Половина этого угла составляет 180 ° на прямой.

Видео ниже объясняет, как рассчитать связанные углы, смежные углы, внутренние углы и дополнительные углы.

Связанные уголки

Линии AB и CD параллельны друг другу (отсюда »на линиях).

a и d известны как , вертикально противоположные углам . Вертикально противоположные углы равны. (b и c, e и h, f и g также противоположны по вертикали).

g и c — это , соответствующие углы . Соответствующие углы равны. (h и d, f и b, e и a также соответствуют).

d и e — это альтернативных углов . Альтернативные углы равны. (c и f также чередуются). Альтернативные углы образуют Z-образную форму и иногда называются Z-углами.

a и b — это смежных углов . Смежные углы в сумме составляют 180 градусов. (d и c, c и a, d и b, f и e, e и g, h и g, h и f также смежны).

d и f — это внутренние углы . В сумме они составляют 180 градусов (е и с также являются внутренними).

Любые два угла, которые в сумме составляют 180 градусов, называются дополнительными углами .

Сумма углов треугольника

Используя некоторые из приведенных выше результатов, мы можем доказать, что сумма трех углов внутри любого треугольника всегда составляет 180 градусов.

Если у нас есть треугольник, вы всегда можете провести две параллельные линии следующим образом:

Теперь мы знаем, что альтернативных углов равны. Следовательно, два угла, обозначенные x, равны. Кроме того, два угла, обозначенные буквой y, равны.

Мы знаем, что x, y и z вместе составляют 180 градусов, потому что вместе они представляют собой просто угол вокруг прямой линии. Таким образом, сумма трех углов в треугольнике должна составлять 180 градусов.

Сумма углов четырехугольника

Четырехугольник — это фигура с 4 сторонами.

Теперь, когда мы знаем сумму углов в треугольнике, мы можем вычислить сумму углов в четырехугольнике.

Для любого четырехугольника мы можем провести диагональную линию, чтобы разделить его на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусам. Следовательно, общая сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов.

Наружные углы

Внешние углы формы — это углы, которые вы получите, если удлинить стороны.Показаны внешние углы шестиугольника:

Многоугольник — это фигура с прямыми сторонами. Сумма всех внешних углов многоугольника составляет 360 °. потому что, если вы сложите их все вместе, они образуют угол вокруг точки:

Следовательно, если у вас есть правильный многоугольник (другими словами, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы одинаковы), каждый из внешних углов будет иметь размер 360 ÷ количество сторон. Так, например, каждый из внешних углов шестиугольника составляет 360/6 = 60 °.

Внутренние углы

Внутренние углы формы — это углы внутри нее. Если вы знаете размер внешнего угла, вы можете определить размер внутреннего угла рядом с ним, потому что в сумме они составляют 180 ° (поскольку вместе они составляют угол на прямой линии).

Внешний угол треугольника

Угол x — это внешний угол треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов в двух других вершинах.Другими словами, x = a + b на диаграмме.

Проба:

  • Сумма углов в треугольнике составляет 180 градусов. Итак, a + b + y = 180.
  • Сумма углов прямой линии составляет 180 градусов. Итак, x + y = 180.
  • Следовательно, y = 180 — x. Помещение этого в первое уравнение дает нам: a + b + 180 — x = 180. Следовательно, a + b = x после перестановки. Это то, что мы хотели доказать.

Как найти угол прямой

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Уголки по прямой | Геометрия прямых

В этой главе вы
исследовать отношения между парами углов, которые
создается, когда прямые линии пересекаются (встречаются или пересекаются).Ты сможешь
исследуйте пары углов, образованных перпендикулярными
линиями, любыми двумя пересекающимися линиями и третьей линией, которая
разрезает две параллельные линии. Вы поймете, что такое
означает вертикально противоположные углы, соответствующие углы,
чередующиеся углы и внутренние углы. Вы сможете
определить разные пары углов, а затем использовать свои знания, чтобы
поможет вам решить неизвестные углы в геометрических фигурах.

Уголки на прямой

Сумма углов прямой

На рисунках ниже каждый угол
присвоена метка от 1 до 5.{\ circ} \)


Сумма углов, которые
образуется по прямой, равной 180 °. (Мы
можно сократить это свойство как: \ (\ angle \) s на
прямая линия.)

Два угла, сумма которых составляет 180 °, также являются
называется дополнительными углами , например \ (\ hat {1} + \ hat {2} \).

Углы, имеющие общую вершину и общую сторону, равны
Говорят, что это смежный .Таким образом, \ (\ hat {1} + \ hat {2} \) также являются
называется дополнительными смежными углами .

Когда две строки
перпендикулярны, их смежные дополнительные углы каждый
равняется 90 °.

На рисунке ниже DC A и DC B
смежные дополнительные углы, потому что они
рядом друг с другом (рядом), и они в сумме составляют
180 ° (дополнительно).

Нахождение неизвестных углов на прямых

Определите размеры неизвестного
углы ниже.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)


  • Рассчитать размер
    \(Икс\).


  • Рассчитать размер
    \ (у \).


  • Поиск новых неизвестных углов на прямых

    1. Рассчитать размер
      из:

      1. \ (х \)

      2. \ (\ hat {ECB} \)

    2. Рассчитать размер
      из:

      1. \ (м \)

      2. \ (\ hat {SQR} \)

    3. Рассчитать размер
      из:

      1. \ (х \)

      2. \ (\ hat {HEF} \)

    4. Рассчитать размер
      из:

      1. \ (к \)

      2. \ (\ hat {TYP} \)

    5. Рассчитать размер
      из:

      1. \ (п \)

      2. \ (\ hat {JKR} \)

    Вертикально противоположные углы

    Что такое вертикально противоположные углы?

    1. Используйте транспортир, чтобы
      Измерьте размеры всех углов на рисунке.Напиши свой
      ответы по фигуре.

    2. Уведомление
      какие углы равны и как эти равные углы
      сформирован.

    Вертикально напротив
    углы
    ( верт. опп. \ (\ angle \) s )
    — углы, противоположные друг другу, когда две линии
    пересекаются.

    Вертикально противоположные углы всегда равны .

    Нахождение неизвестных углов

    Рассчитайте размеры неизвестного
    углы на следующих рисунках.{\ circ} && \\ & = \ text {______} \\ \\ z & = \ text {______} && [\ text {vert. опп.} \ angle \ text {s}] \ end {align} \)


  • Вычислить \ (j, ~
    к \) и \ (l \).


  • Вычислить \ (a, ~
    b, ~ c \) и \ (d \).


  • Уравнения с вертикально противоположными углами

    Вертикально противоположные углы всегда
    равный.{\ circ} \\ & = \ text {______} \ end {align} \)


  • Рассчитайте стоимость
    \ (т \).


  • Рассчитайте стоимость
    \(п\).


  • Рассчитайте стоимость
    \ (г \).


  • Рассчитайте стоимость
    \ (у \).


  • Рассчитайте стоимость
    \(р\).


  • Линии, пересекаемые трансверсалью

    Пары углов, образованные поперечиной

    Поперечная — это линия,
    пересекает как минимум две другие линии.

    Когда трансверсаль пересекает два
    линий, мы можем сравнить наборы углов на двух линиях на
    глядя на их позиции.

    Углы, лежащие на одной стороне
    поперечины и находятся в совпадающих положениях, называются
    соответствующие углы ( корр. \ (\ угол \) с ). В
    на рисунке это соответствующие углы:

    • \ (а \)
      и \ (е \)
    • \ (б \)
      и \ (f \)
    • \ (г \)
      и \ (h \)
    • \ (с \) и \ (g \).
    1. На рисунке
      \ (a \) и \ (e \) находятся слева от трансверсали и
      над чертой.

      Запишите расположение следующих углов.Первый сделан для тебя.

      \ (b \) и \ (f \): справа от поперечной и над строками


      \ (d \) и \ (h \):


      \ (c \) и \ (g \):


    Альтернативные углы
    ( alt. \ (\ angle \) s ) ложь
    на противоположных сторонах поперечной, но не смежные и
    вертикально напротив. Когда чередующиеся углы лежат между
    две линии, они называются , чередующиеся внутренние углы
    на рисунке это альтернативные внутренние углы:

    • \ (г \)
      и \ (f \)
    • \ (с \)
      и \ (е \)

    Когда чередующиеся углы лежат снаружи
    из двух линий они называются альтернативный экстерьер.
    углы
    . На рисунке это альтернативный экстерьер.
    углы:

    • \ (а \)
      и \ (g \)
    • \ (б \)
      и \ (h \)
    1. Запишите расположение следующих альтернативных углов:

      \ (d \) и \ (f \):


      \ (c \) и \ (e \):


      \ (a \) и \ (g \):


      \ (b \) и \ (h \):


    Уголки внутренние
    ( совм. \ (\ угол \) с )
    лежать на одной стороне поперечной и между двумя
    линий. На рисунке это общие внутренние углы:

    • \ (с \)
      и \ (f \)
    • \ (г \)
      и \ (е \)
    1. Запишите расположение следующего совместного интерьера
      углы:

      \ (d \) и \ (e \):


      \ (c \) и \ (f \):


    Обозначение углов

    Две прямые пересекаются
    поперечный, как показано ниже.

    Запишите следующие пары
    углы:

    1. две пары соответствующих
      углы:


    2. две пары чередующихся
      внутренние углы:


    3. две пары чередующихся
      внешние углы:


    4. две пары совмещенных салонов
      углы:


    5. две пары вертикально
      противоположные углы:


    Параллельные прямые, пересекаемые трансверсалью

    Размер исследуемого уголка

    На рисунке внизу слева EF — это
    трансверсально к AB и CD.На рисунке внизу справа PQ — это
    трансверсально параллельным прямым JK и LM.

    1. Используйте транспортир, чтобы
      Измерьте размеры всех углов на каждой фигуре. Написать
      замеры на рисунках.
    2. Используйте свои мерки, чтобы
      заполните следующую таблицу.

      Corr.\ (\ угол \) с

      \ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {4} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \)

      Доп.внутр. \ (\ angle \) s

      \ (\ hat {4} = \ text {_______}; ~ \ hat {6} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {3} = \ text {_______}; ~ \ hat {5} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {12} = \ text {_______}; ~ \ hat {14} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {11} = \ text {_______}; ~ \ hat {13} = \ text {_______} \)

      Доп.доб. \ (\ angle \) s

      \ (\ hat {1} = \ text {_______}; ~ \ hat {7} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {2} = \ text {_______}; ~ \ hat {8} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {9} = \ text {_______}; ~ \ hat {15} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {10} = \ text {_______}; ~ \ hat {16} = \ text {_______} \)

      Ко-инт.\ (\ угол \) с

      \ (\ hat {4} + \ hat {5} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {3} + \ hat {6} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {12} + \ hat {13} = \ text {_______} \)

      \ (\ hat {11} + \ hat {14} = \ text {_______} \)

    3. Посмотрите на свой завершенный
      таблица, о которой идет речь 2.Что вы заметили в образованных углах
      когда трансверсаль пересекает параллельные прямые?


    Когда линии
    параллельно:

    • соответствующие углы равны
    • альтернативные внутренние углы равны
    • чередующиеся внешние углы равны
    • Общие внутренние углы в сумме составляют 180 °

    Определение углов на параллельных линиях

    1. Заполните соответствующий
      углы к указанным.

    2. Заполнить альтернативный экстерьер
      углы.

      1. Заполнить запасной интерьер
        углы.
      2. Обведите две пары внутренней части
        углы на каждом рисунке.
      1. Без замера заполнить все
        углы на следующих рисунках равны \ (x \) и
        \ (у \).
      2. Объясните причины каждого \ (x \)
        и \ (y \), которые вы заполнили своему партнеру.


    3. Укажите значение \ (x \) и
      \ (y \) ниже.


    Нахождение неизвестных углов на параллельных прямых

    Разработка неизвестных углов

    Определите размеры неизвестного
    углы. Обоснуйте свои ответы.{\ circ} && [\ angle \ text {s на прямой}] \ end {align} \)

  • Определите размеры
    \ (p, ~ q \) и \ (r \).


  • Найдите размеры
    \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).


  • Найдите размеры
    всех углов на этом рисунке.


  • Найдите размеры
    всех углов.(Вы видите две трансверсали и
    два набора параллельных линий?)


  • добавочный номер

    Два угла в
    следующая диаграмма обозначена как \ (x \) и \ (y \).
    Заполните все углы, равные \ (x \) и \ (y \).

    Сумма углов четырехугольника

    На приведенной ниже диаграмме
    предыдущая диаграмма.

    1. Что за четырехугольник
      на схеме? Обоснуйте свой ответ.{\ circ} \)


      Вы можете придумать другой способ
      используйте диаграмму выше, чтобы вычислить сумму углов в
      четырехугольник?

    Решение других геометрических задач

    Угловые отношения на параллельных прямых

    1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {7} \).


    2. Рассчитать размеры
      \ (x, ~ y \) и \ (z \).


    3. Рассчитать размеры
      \ (a, ~ b, ~ c \) и \ (d \).


    4. Рассчитать размер
      \(Икс\).


    5. Рассчитать размер
      \(Икс\).


    6. Рассчитайте размер \ (x \).


    7. Рассчитать размеры
      \ (a \) и \ (\ hat {CEP} \).


    Включая свойства треугольников и четырехугольников

    1. Рассчитайте размеры от \ (\ hat {1} \) до \ (\ hat {6} \).


    2. РГТУ — трапеция.
      Вычислите размеры \ (\ hat {T} \) и \ (\ hat {R} \).

    3. JKLM — ромб.
      Рассчитайте размеры \ (\ hat {JML}, \ hat {M_2} \) и \ (\ hat {K_1} \).

    4. ABCD — это
      параллелограмм. Рассчитайте размеры \ (\ hat {ADB}, \ hat {ABD}, \ hat {C} \) и \ (\ hat {DBC} \)

    1. Посмотрите на рисунок ниже. Имя
      предметы, перечисленные рядом.

      1. пара вертикально
        противоположные углы


      2. пара соответствующих
        углы


      3. пара альтернативных
        внутренние углы


      4. пара совместно интерьер
        углы


    2. На схеме AB \ (\ parallel \) CD.{\ circ} \).

      Рассчитайте значение \ (x \). Объясните причины для вашего
      ответы.


    Угол наклона и уклон прямой

    Пусть прямая l пересекает ось x в точке A. Угол между положительной осью x и прямой l, измеренный против часовой стрелки, называется углом наклона прямой l.

    На приведенном выше рисунке, если θ — угол прямой l, то мы имеем следующие важные моменты.

    (i) 0 ° ≤ θ ≤ 180 °

    (ii) Для горизонтальных линий θ = 0 ° или 180 ° и для вертикальных линий θ = 90 °

    (iii) Если прямая линия изначально проходит вдоль оси x и начинает вращаться вокруг фиксированной точки A на оси x против часовой стрелки и, наконец, совпадает с осью x, тогда угол наклона прямой в исходном положении равен 0 °, а угол наклона прямой линия в конечном положении — 0 °.

    (iv) Линии, перпендикулярные оси x, называются вертикальными линиями.

    (v) Линии, перпендикулярные оси Y, называются горизонтальными линиями.

    (vi) Другие линии, которые не перпендикулярны ни оси x, ни оси y, называются наклонными линиями.

    Угол наклона и уклон линии — Приложение

    Основное применение угла наклона прямой — это определение уклона.

    Если θ — это угол наклона прямой l, то tanθ называется крутизной наклона прямой и обозначается буквой «m».

    Следовательно, наклон прямой равен

    m = tan θ

    для 0 ° ≤ θ ≤ 180 °

    Найдем наклон прямой, используя приведенную выше формулу

    (i) Для горизонтального линий угол наклона 0 ° или 180 °.

    То есть

    θ = 0 ° или 180 °

    Следовательно, наклон прямой линии равен

    m = tan0 ° или tan 180 ° = 0

    (ii) Для вертикальных линий угол наклона равен 90 °.

    То есть

    θ = 90 °

    Следовательно, наклон прямой равен

    m = tan90 ° = Не определено

    (iii) Для наклонных линий, если θ острый, то наклон положительный. Если θ тупой, то наклон отрицательный.

    Наклон линии — положительный или отрицательный, ноль или неопределенный

    Когда мы визуально смотрим на прямую линию, мы можем легко узнать знак наклона.

    Чтобы узнать знак наклона прямой, мы всегда должны смотреть на прямую слева направо.

    Это иллюстрируют приведенные ниже цифры.

    Практические задачи

    Задача 1:

    Найдите угол наклона прямой линии с уклоном 1 / √3.

    Решение:

    Пусть θ будет углом наклона линии.

    Тогда наклон линии равен

    m = tanθ

    Дано: Наклон = 1 / √3

    Тогда

    1 / √3 = tanθ

    θ = 30 °

    Итак, угол наклона 30 °.

    Задача 2:

    Если угол наклона прямой составляет 45 °, найдите ее наклон.

    Решение:

    Пусть θ будет углом наклона линии.

    Тогда наклон прямой

    m = tanθ

    Дано: θ = 45 °

    Тогда

    m = tan 45 °

    m = 1

    Итак, наклон равен 1.

    Задача 3:

    Если угол наклона прямой 30 °, найдите ее наклон.

    Решение:

    Пусть θ будет углом наклона линии.

    Тогда наклон прямой

    m = tanθ

    Дано: θ = 30 °

    Тогда

    m = tan30 °

    m = 1 / √3

    Итак, наклон равен 1 / √3.

    Задача 4:

    Найдите угол наклона прямой, имеющей наклон √3.

    Решение:

    Пусть θ будет углом наклона линии.

    Тогда наклон линии

    m = tanθ

    Дано: Наклон = √3

    Тогда

    √3 = tanθ

    θ = 60 °

    Итак, угол наклона равен 60 °.

    Задача 5:

    Найдите угол наклона прямой, уравнение которой y = x + 32.

    Решение:

    Пусть θ будет углом наклона прямой.

    Данное уравнение имеет форму пересечения наклона.

    То есть

    y = mx + b

    Сравнивая

    y = x + 32

    и

    y = mx + b,

    получаем наклон m = 1.

    Мы знаем, что наклон линии

    m = tanθ

    Тогда

    1 = tanθ

    θ = 45 °

    Итак, угол наклона равен 45 °.

    Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

    Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

    [email protected]

    Мы всегда ценим ваши отзывы.

    Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

    ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

    Задачи со словами HCF и LCM

    Задачи со словами на простых уравнениях

    Задачи со словами на линейных уравнениях

    Задачи со словами на квадратных уравнениях

    Алгебраные задачи на слова

    Проблемы со словами в поездах

    Проблемы со словами по площади и периметру

    Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

    Проблемы со словами по цене за единицу

    Проблемы со словами по цене за единицу

    Word задачи по сравнению ставок

    Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

    Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах

    Word задачи по простому проценту

    Word по сложным процентам

    Word по типам ngles

    Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

    Проблемы со словами с двойными фактами

    Проблемы со словами в тригонометрии

    Проблемы со словами в процентах

    Проблемы со словами о прибылях и убытках

    Разметка и разметка Задачи

    Задачи с десятичными словами

    Задачи со словами о дробях

    Задачи со словами о смешанных фракциях

    Одношаговые задачи о словах с уравнениями

    Проблемы со словами о линейных неравенствах

    Задачи со словами

    Проблемы со временем и рабочими словами

    Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

    Проблемы со словами на возрастах

    Проблемы со словами по теореме Пифагора

    Процент числового слова pr проблемы

    Проблемы со словами при постоянной скорости

    Проблемы со словами при средней скорости

    Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

    ДРУГИЕ ТЕМЫ

    Сокращения прибылей и убытков

    Сокращение в процентах

    Сокращение в таблице времен

    Сокращение времени, скорости и расстояния

    Сокращение соотношения и пропорции

    Область и диапазон рациональных функций

    Область и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

    Графики рациональных функций

    Графики рациональных функций с отверстиями

    Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

    Десятичное представление рациональных чисел

    Нахождение квадратного корня с помощью long di видение

    L.Метод CM для решения временных и рабочих задач

    Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

    Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

    Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

    Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

    Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

    Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

    Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

    Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

    Геометрия: линии и углы — Magoosh Math

    Линии и углы составляют почти все геометрические формы.Итак, давайте погрузимся в геометрию, обсудив эти самые основные элементы форм.

    Теперь мы можем поговорить о геометрии. И, конечно же, геометрия — это изучение форм. Теперь для некоторых людей, ориентированных на зрение, геометрия приходит очень естественно. А другим людям, которые не развили свои визуальные навыки, геометрия может быть немного сложнее.

    Вот что я скажу специально для людей, для которых геометрия немного сложнее.

    Недостаточно просто посмотреть эти ролики.После того, как вы посмотрите их, возьмите бумагу и линейку и нарисуйте эти разные формы, фактически физически нарисуйте их на бумаге. И создавайте формы и физические объекты. Вы можете использовать карандаши, зубочистки, соломку и тому подобное. На самом деле строите треугольники, строите прямоугольники, на самом деле смотрите на них.

    НАРИСИМ!

    Изображение Aaron Amat

    Используйте свои руки!

    Используйте свои руки, наши руки на самом деле являются частью нашего интеллекта. Вы используете руки, вы задействуете каждую часть мозга.Так будет намного легче понять все эти отношения.

    Итак, начнем с линий. Линии прямые и продолжаются вечно в обоих направлениях. Здесь у нас есть несколько разных прямых линий, направленных в разные стороны. Вы должны представить, что в конце каждой строки есть стрелки или что-то в этом роде. Это указывает на то, что линии действительно продолжаются вечно в обоих направлениях.

    Линии и углы: все прямые прямые

    Очень важно не путать прямую с горизонтальной.У этих двух слов очень разные значения, но иногда некоторые студенты путают их. Все линии прямые. Итак, все линии, которые у нас были на предыдущем слайде, линии, идущие в разных направлениях, все это прямые линии.

    И вы всегда можете предположить, что линия на тесте прямая. Если смотрит прямо, то прям. Это всегда верно на тесте. Но некоторые линии для удобства нарисованы горизонтально. Однако вы никогда не можете предположить, что линии являются точно горизонтальными или вертикальными просто потому, что они кажутся таковыми.Теперь люди действительно запутались в этом. Вы сбиты с толку, если думаете, что горизонтальное и прямое означают одно и то же.

    Итак, мы говорим, что вы можете предположить из теста, что линии прямые. Люди ошибочно полагают, что это также означает, что они могут считать линии горизонтальными, а это неверно. Отрезок линии — это конечный отрезок линии.

    Пример

    Так, например, здесь у нас есть отрезок с двумя конечными точками. И когда эти конечные точки помечены, это упрощает обсуждение.

    Это отрезок AB. И для целей теста AB может означать фактическую форму самого отрезка линии. Или это может означать длину отрезка линии, числовую длину. Угол возникает между двумя линиями или двумя сегментами. Например, здесь у нас есть угол.

    Линии и углы: понимание углов

    Изображение Radu Bercan

    Это происходит между одной линией и одним сегментом. Лучший способ понять угол — это думать о нем динамически, как о повороте или вращении.Другими словами, идем отсюда сюда. Вот что такое угол, это динамическое пространство между двумя линиями. Если мы помечаем точки, мы можем говорить об угле.

    Уголки для этикеток

    Мы могли бы назвать этот угол либо CDE, либо EDC, точка D, вершина угла. Здесь острие угла должно быть посередине имени. Итак, мы можем вызвать либо CDE, либо EDC, если вершина находится посередине. Иногда в этих видео я также использую одно название ракурса, если нет двусмысленности.Например, на этой диаграмме только один угол.

    Так что я мог бы назвать это углом D. Теоретически это могло произойти на тесте. Хотя тест часто бывает достаточно осторожным, чтобы всегда использовать трехбуквенное имя для угла. Измеряем размер угла в градусах. Тест может указать это прямо, так что 50 градусов.

    В качестве альтернативы тест может пометить диаграмму и указать меру угла в тексте. Итак, угол GFH = 50 градусов, потому что они ставят буквы в точках на диаграмме.Мы можем просто использовать это, чтобы говорить об этой мере, в количестве градусов в тексте. На самом деле, наверное, самое любимое занятие — это просто указать угол с переменным числом градусов.

    Гибкий формат тестирования

    Этот гибкий формат позволяет им либо указать угол, поскольку в тексте они могут сказать x = 50, либо задать вопрос по этому поводу. Они могут дать нам другую информацию и сказать «найди x». Поэтому они хотели бы это сделать. Мы сделаем быстрый обзор основных фактов о степени.У прямого угла 180 градусов, и, конечно же, помните, что прямая линия может идти в любом направлении.

    Но если есть какая-нибудь точка на прямой, от одной стороны до другой. То есть 180 градусов, есть 90 градусов под прямым углом. Итак, у нас есть две линии, пересекающиеся под прямым углом. На самом деле на этом пересечении есть четыре прямых угла. Если две линии или сегменты встречаются под прямым углом, они называются перпендикулярными, это термин, который вам следует знать.

    Перпендикулярные линии и прямые углы

    Тест может либо нарисовать этот маленький квадрат, перпендикулярный знак, который является этим маленьким квадратом, либо он может указать, что угол равен 90 градусам. Он может обозначать 90 градусов на диаграмме или X градусов и сообщать нам в тексте, что X равно 90. Есть множество способов, которыми они могут сказать нам, что это угол 90 градусов. Не думайте, что две линии перпендикулярны, если вам об этом не сказано явно, это часто бывает ловушкой.

    Изображение Анара Бабаева

    Предположим, что эти точки появляются как часть большей диаграммы, и никакой дополнительной информации не дается.Конечно, похоже, что они могут быть расположены под прямым углом, и это очень заманчиво предположить. Тесту хотелось бы, чтобы вы допустили ошибку, предположив, что линии перпендикулярны, а угол равен точно 90 градусам.

    На самом деле это не так, я нарисовал это так, что угол составляет 89,6 градуса. Итак, это почти прямой угол, и невооруженным глазом он может выглядеть как прямой. Но ни одно из особых свойств прямого угла не является истинным.

    В следующих видеороликах мы поговорим больше о специальных свойствах прямого угла.Ни одно из специальных свойств прямого угла не является истинным, если угол близок к 90, но не точно 90.

    Очень важно, поэтому вы не можете предполагать, что две линии перпендикулярны, если у вас нет какого-либо основания для этого.

    Линии и углы: конгруэнтные формы

    Один термин, который я представлю, который, вероятно, не появится в тесте, является конгруэнтным. Конгруэнтность подобна равенству форм. Мы используем концепцию равенства для числа и очень похожую концепцию «конгруэнтности» для форм.

    Две формы являются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер.

    Они не обязательно должны иметь одинаковую ориентацию. Так, например, фиолетовая и зеленая формы здесь совпадают, одна перевернута. Можно сказать, что одна версия для правшей, а другая — для левшей, но в основном это та же форма.

    Эти два конгруэнтны, хотя имеют разную ориентацию.

    Биссектриса

    Биссектриса разрезает что-то на две равные части.Биссектриса угла разрезает угол на два меньших равных угла. Так, например, у нас есть биссектриса угла. Если нам говорят, например, что большой угол PNM равен 40 градусам и что NQ делит угол пополам, то мы можем сделать вывод, что каждый из двух меньших углов должен составлять 20 градусов.

    Каждый из них должен быть ровно наполовину равен друг другу, потому что угол был разделен пополам. Точно так же биссектриса сегмента может быть точкой, другим сегментом или линией. Биссектриса делит отрезок на две равные половины.Обратите внимание, что здесь сегмент ST делит PQ пополам. Также обратите внимание, что PQ не делит пополам ST, потому что SR явно больше RT.

    Таким образом, тот факт, что ST делит PQ пополам, означает, что R является средней точкой PQ, и что PR = RQ. Мы разделили его на две равные половины, и, опять же, это всегда означает деление пополам. Иногда линия будет делить сегмент пополам и также перпендикулярна ему. Прямая называется серединным перпендикуляром отрезка.

    Линия VW перпендикулярна, это серединный перпендикуляр к ТУ.Каждая точка на серединном перпендикуляре сегмента равноудалена от двух конечных точек сегмента. И это действительно полезный факт, который проявляется по-разному. Серединный перпендикуляр на самом деле представляет собой набор всех возможных точек, которые равноудалены от двух конечных точек отрезка.

    Линии и углы: давайте посмотрим на углы

    Теперь несколько основных фактов об углах. Мы уже говорили, что прямая содержит 180 градусов. Это означает, что если два или более угла лежат на прямой линии, сумма их углов составляет 180 градусов.Так, например, мы можем предположить, что эта длинная линия прямая. На этом этапе у него нет небольшого изгиба.

    Тест нам этого не сделает, если смотрит прямо, то прям. И поэтому мы знаем, что эти два угла вместе составляют 180. Итак, x + y = 180. Если два угла в сумме дают 180, то они называются дополнительными. Два угла на прямой всегда дополняют друг друга. Итак, p + q = 180.

    Изображение: BlueRingMedia

    Когда пересекаются две линии

    При пересечении двух линий образуются четыре угла.Итак, у нас есть две линии, которые продолжаются вечно в обоих направлениях, они должны пересекаться, и эти четыре угла образуются. Пары углов напротив друг друга, имеющие общую вершину, называются вертикальными углами, а вертикальные углы всегда совпадают. Так, например, A и C, у них нет общих сторон.

    Все, что есть у a и c, — это то, что они касаются одной вершины. Они касаются вершины, b и d также касаются вершины. Вот почему они называются вертикальными углами, потому что они встречаются в вершине.Итак, мы знаем, что вертикальные углы совпадают, мы знаем, что a = c и b = d. Конечно, пары углов, расположенных рядом друг с другом, a + b, b + c, все они являются дополнительными.

    Все они в сумме дают 180 градусов, потому что у нас есть пары углов на линии. Следовательно, если на этой диаграмме нам дан один угол, мы сможем найти остальные три. Например, если a = 35, мы знаем, что c должно быть равно. Это тоже должно быть 35 градусов. И b и d должны быть дополнительным углом в 145 градусов. Таким образом, любые две пары вместе, любые два угла вместе в паре дают в сумме 180 градусов.

    Линии и углы: практическая задача первая

    Вот практическая задача, поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

    Изображение Евгении Илюхиной

    Хорошо. На диаграмме x = 40 градусов и RT делит пополам большой угол SRU, который является очень большим углом. Что ж, SRU является дополнительным углом к ​​этому углу в 40 градусов, поэтому SRU должно быть 180 минус 40, что будет 140. Итак, SRU равно 140.

    И этот угол делится пополам, потому что он делится на две равные половины.Итак, есть две половины, каждая из которых должна быть под углом 70 градусов. SRT = 70 градусов, TRU = 70 градусов. Это две равные половины угла, который был разделен пополам. А теперь обратите внимание, что угол TRV, этот угол состоит из TRU и угла x, который мы знаем.

    Мы знаем, что TRU равен 70 градусам, мы знаем, что угол X равен 40 градусам, поэтому складываем их вместе. TRV должен быть под углом 110 градусов. Теперь обратите внимание, что TRV — это вертикальный угол SRW, поэтому эти два значения должны быть равны. Это означает, что SRW также должен быть под углом 110 градусов, поэтому Y равно 110.Наконец, мы рассмотрим параллельные линии.

    Линии и углы: параллельные линии

    Если две прямые параллельны, они никогда не пересекаются и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. И опять же, это еще одно из этих свойств, например, перпендикулярность, близость к параллельности, не учитывается для бобов. Вы должны знать, что две линии точно параллельны. Очевидно, поскольку параллельные линии никогда не пересекаются, они никогда не образуют друг с другом углов.

    Поперечные линии

    Мы получаем много углов, если третья непараллельная линия пересекает две параллельные линии.Эта третья линия называется поперечной. Трансверсаль — это линия, пересекающая две параллельные линии. Итак, здесь мы имеем поперечный разрез по параллельным линиям WX и YZ. И у нас там восемь ангелов.

    Теперь четыре больших ангела равны. И все четыре маленьких ангела равны. Другими словами, a = d = e = h и b = c = f = g, это большая идея. Вы, конечно, можете вспомнить из геометрии, что среди них есть всевозможные особые имена.

    Альтернативный внутренний и такой же боковой внешний и соответствующие углы.Если вы хотите запомнить все эти особенные имена, это прекрасно, в этом нет необходимости. Все, что вам нужно запомнить, это то, что все большие углы равны, все маленькие углы равны. Итак, вот диаграмма, и теперь я пометил ее так, чтобы было ясно, что все равно.

    Линии и углы: дополнительные углы

    Также обратите внимание, что p и q являются дополнительными. Итак, любой большой угол плюс любой маленький угол равняется 180 градусам, это действительно отличная идея. Таким образом, если нам здесь дана степень любого из углов, мы сможем найти остальные семь.Подводя итог, мы говорили о прямых и линейных сегментах, мы говорили об углах и градусах.

    Мы указали, что существует прямой угол 180 градусов и прямой угол 90 градусов. Мы говорили о биссектрисах и перпендикулярах. Биссектриса угла делит угол на два равных меньших угла. Серединный перпендикуляр перпендикулярен отрезку и делит его на две равные половины.

    Мы говорили о том, что два угла на линии дополняют друг друга. Вертикальные углы совпадают.И мы говорили об углах, образованных трансверсалью, пересекающей пару параллельных прямых. И мы поговорим о многих приложениях этих фундаментальных идей в следующих видео.

    Видео с вопросом: Определение угла между двумя прямыми линиями в двух измерениях

    Стенограмма видео

    Определите величину острого угла между прямой минус 𝑦 плюс четыре, равной нулю, и прямой, проходящей через точки три, два и два, четыре с точностью до секунды.

    Итак, нас попросили определить величину острого угла между двумя прямыми линиями. У нас есть формула, которую мы можем использовать, чтобы решить эту проблему. Tan угла 𝜃 равен модулю 𝑚 один минус 𝑚 два над одним плюс 𝑚 один 𝑚 два, где 𝑚 один и 𝑚 два представляют собой наклоны двух прямых. Поэтому нам нужно найти наклон двух линий, чтобы мы могли подставить значения 𝑚 один и два в эту формулу.

    Начнем с линии минус 𝑦 плюс четыре равно нулю.Если мы добавим 𝑦 к обеим сторонам этого уравнения, мы получим уравнение: плюс четыре равно 𝑦. Или, что то же самое, равно 𝑥 плюс четыре. Сравнивая это с формой пересечения наклона уравнения прямой линии, равно 𝑚𝑥 плюс, мы видим, что наклон этой прямой равен единице.

    Затем нам нужно найти наклон второй линии. Нам сообщают координаты двух точек, лежащих на этой линии. Если мы знаем две точки, которые лежат на прямой, 𝑥 один, 𝑦 один и 𝑥 два, 𝑦 два, то наклон можно рассчитать как изменение 𝑦, деленное на изменение 𝑥: 𝑦 два минус 𝑦 один больше 𝑥 два минус 𝑥 один.Подставляя координаты двух точек на эту прямую, получаем, что два минус 𝑦 один равен четырем минус два. И 𝑥 два минус 𝑥 один равен минус два минус три. Это упрощается до шести вместо отрицательных пяти, которые чаще записываются как отрицательные шесть против пяти.

    Итак, теперь, когда мы знаем наклон двух линий, мы можем подставить эти значения в нашу формулу для вычисления угла между ними. Мы имеем, что тангенс угла равен модулю единицы минус отрицательные шесть по пяти, деленному на один плюс один, умноженному на минус шесть по пяти.Теперь это можно упростить, если мы подумаем об одном как о пяти на пять.

    В числителе пять над пятью минус минус шесть над пять, что становится 11 над пятью, а в знаменателе пять над пятью минус шесть над пятью, что отрицательно на пять. Знаменатели пяти как в числителе, так и в знаменателе общей дроби будут уравновешивать друг друга, в результате чего модуль будет отрицательным одиннадцать, что составляет всего 11.

    Чтобы найти угол, нам нужно использовать обратную функцию загара.У нас есть, что equal равно обратному тангажу 11, что составляет 84,80557 градусов. Вопрос задан для этого угла с точностью до секунды. Итак, нам нужно преобразовать градусы в градусы, минуты и секунды.

    В вашем калькуляторе может быть функция, которая делает это за вас автоматически. Но если нет, то вам нужно помнить, что в минуте 60 минут в градусе и 60 секунд в минуте, и использовать это для преобразования десятичной части этого ответа в минуты и секунды. Он дает ответ 84 градуса, 48 минут и 20 секунд с точностью до секунды.

    Угол наклона прямой

    — Concept

    Угол наклона линии — это угол, образованный пересечением прямой и оси x. Использование горизонтального «пробега» 1 и m для наклона, угла наклона, theta = tan-1 (m) или m = tan (theta). Следовательно, если угол или наклон известны, другое можно найти с помощью одного из уравнений. Если угол наклона отрицательный, то и наклон линии отрицательный.

    Какой угол наклона линии? Итак, у меня есть линия, нарисованная здесь уравнением y = mx + b, оно должно быть вам знакомо. Это угол наклона тета, это угол между линией и горизонтом. Теперь я хочу выяснить, как я могу вычислить эту линию, как она соотносится с уравнением линии, поэтому я нарисовал здесь маленький треугольник, а затем я обозначу стороны, скажем, я обозначу это 1, что будет с этой стороны быть? Теперь я знаю, что наклон, наклон линии равен подъему над пробегом, поэтому наклон будет равен вопросительному знаку над 1, так что это будет наклон.
    Теперь, если я смотрю на этот прямоугольный треугольник, и это прямоугольный треугольник, я могу использовать тригонометрию прямоугольного треугольника, чтобы найти связь между тета и m, верно? m — это длина по вертикали этой стороны, поэтому тангенс теты равен m по касательной к 1, тета равен m, так что это соотношение между углом наклона и наклоном, тангенс угла наклона — это наклон, а угол наклона равен арктангенс угла наклона, поэтому вы можете рассчитать наклон по углу наклона, а угол наклона можно рассчитать по углу наклона.
    Теперь давайте посмотрим на другой, на несколько частных случаев. Горизонтальные или вертикальные линии. Теперь горизонтальная линия не обязательно будет пересекать ось x, конечно, для линии до y = 0 это ось x, но мы определяем ее угол наклона равным 0, и, конечно же, тангенс 0 равен 0, поэтому наклон будет тангенсом 0, который равен 0, и это то, что мы, как мы определяем наклон горизонтальной линии, это 0.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *